連続した2つの奇数の平方の差は？わかりやすく解説
桂カレッジは西京区桂地域にあるため桂川中学校、樫原中学校、桂中学校の生徒が在籍しています。
その中から先月実施された、ある中学３年の数学定期テスト問題に注目。
よく似たものを用意しましたので、それに沿って解説したいと思います！
連続した２つの奇数があります。
それぞれの平方の差は必ず（ ）で割り切れます。
（ ）にあてはまる数を答えなさい。
桂カレッジの指導でも何度も繰り返したタイプの問題ですね。
それでは解法をひとつずつ見てみましょう！
まずは文字で表してみる
連続した2つの奇数は、ｎを整数として
- 2n-1
- 2n+1
で表すことができます。
これは2nが「２の倍数」、つまり「偶数」であることが基準になっています。
偶数の１つ前や１つ後は必ず奇数ですものね。
そして授業でも繰り返し伝えましたが、「連続した」の場合は文字は１つでＯＫ。
では問題文の通りに式を作ると・・・
(2n+1)²−(2n−1)²
となります。
式を計算していこう
それでは実際に計算していきましょう！
この問題は（ ）に当てはまる数のみ答えればよいのですが、
記述問題だと想定して２通りで書いてみます。
乗法公式で解く
ｎを整数とすると、連続した２つの奇数は
2n-1、2n+1と表せる。
よって連続した２つの奇数の２乗の差は
(2n+1)²−(2n−1)²
＝(4n²+4n+1)−(4n²−4n+1)
＝4n²+4n+1−4n²+4n−1
＝8n
ｎは整数なので、8nは８の倍数である。
したがって連続した２つの奇数の２乗の差は、必ず８で割り切れる。
因数分解で解く
ｎを整数とすると、連続した２つの奇数は
2n-1、2n+1と表せる。
よって連続した２つの奇数の２乗の差は
(2n+1)²−(2n−1)²
＝{(2n+1)+(2n−1)}{(2n+1)−(2n−1)}
＝4n×2
＝8n
ｎは整数なので、8nは８の倍数である。
したがって連続した２つの奇数の２乗の差は、必ず８で割り切れる。
記述するとき、
「ｎは整数なので」
のひとことはとても重要。
ｎが小数や分数だった場合、８の倍数とは言えない場合があるからです。
絶対に書き忘れないようにしましょう！
まとめ
この問題では、連続した2つの奇数を文字式で表して考えました。
今回は 2n−1、2n＋1 とおきましたが、
2n＋1、2n＋3
と表しても、同じ結論にたどり着きます。
このように文字式を使って証明できるようになると、答えを覚えるだけでなく、
「なぜそうなるのか」を自分の言葉で説明できるようになります。
文字式を使った証明は、定期テストはもちろん高校入試でもよく出題される大切な考え方です。
ぜひ、この機会にしっかり身につけておきましょう！
〖投稿者〗桂カレッジ 西田
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